El amor en los tiempos del capital y la información asimétrica

(Signaling games)
Consider the following game played between a boy and a girl. The boy is one of two possible types. He can be the girl's "true love" (type TL) or he can be a "nice guy" (type NG); each type is equally likely. The boy moves first, choosing the number of carats N of the diamond in the engagement ring (N is either 0, 1, 2, ...). The girl observes the number of carats, but not the boy's type, and then decides whether to accept the proposal and the ring (choosing T=1) or reject the proposal (choosing T=0).
--- payoff functions here ---
The girl doesn't care about the size of the diamond. The girl's payoff is 2 if she rejects a proposal, 3 if she accepts a proposal from her true love, and 0 if she accepts a proposal from a nice guy.
a) Sketch the extensive form representation of this game if N could only be either 0 or 1.
b) Find a pure-strategy pooling equilibrium and a pure-strategy separating equilibrium.

(al ratito que resuelva el juego -el teórico, el otro quién sabe-, si hay chance les cuento qué sale)

(y luego me preguntan que porqué no salgo con economistas... pfff...)

*

SOLUCIÓN:

En este juego tenemos 4 candidatos a equilibrio, sólo dos lo son, un equilibrio "pooling" y otro equilibrio "separating". En términos generales, un equilibrio de Nash se define como la estrategia que otorga el mayor beneficio a cada jugador, tomando en cuenta la información disponible y las estrategias seguidas por los demás jugadores, de manera tal que al final ningún jugador tiene incentivos a moverse (o sea, a usar otra estrategia). En este caso, los jugadores no saben con seguridad el tipo de jugador que es el oponente, para lo cual deben basarse en creencias sobre la probabilidad subjetiva del tipo y las acciones que lleva a cabo el rival. Juegos que incluyen probabilidades a partir de las cuales se generan creencias sobre el tipo y las estrategias de los jugadores implican un equilibrio Bayesiano perfecto -EBP- (Perfect Bayesian Equilibrium).
Un equilibrio pooling es aquél en donde el jugador, independientemente de su tipo, lleva a cabo la misma acción. Así, tenemos que el único equilibrio pooling es cuando el chico, sin importar si es el "amor verdadero" o nomás un "chico lindo" decide comprar un anillo de compromiso con un diamante de CERO kilates (o séase, supongo yo, otra piedra más sencilla, como una circonia o algo así). En este caso, como ambos tipos de chico llevan a cabo la misma acción, la chica no tiene manera de distinguir si el chico en cuestión es su "amor verdadero" o uno más de los "chicos lindos" que (de-todas-maneras-no) abundan por ahí. Tomando en cuenta que existe la misma probabilidad de que el chico sea "amor verdadero" o "lindo" nomás, la chica (plagada de incertidumbre, supongo) decide NO ACEPTAR la propuesta :(
Por otro lado, un equilibrio separating (no estoy segura si se traduce tal cual, un "equilibrio separado") implica que el jugador realiza una acción diferente acorde a su tipo específico. En este caso el único equilibrio separating implica que el chico "amor verdadero" compra un anillo con un diamante de N quilates (con N>0, i.e., al menos un quilate), y el "chico lindo" compra un anillo sin diamantes (o cero quilates). De esta forma, el chico "amor verdadero" manda a la chica LA SEÑAL de que él es THE ONE y que por eso compra un anillo más valioso. No obstante, el "chico lindo" tiene incentivos a hacerse pasar por "amor verdadero" y está dispuesto a comprar un anillo con diamantes también, sólo que él no está dispuesto a pagar demasiado. Por esta razón, el "amor verdadero", para convencer a la chica de que él es de a de veras, no sólo compra el anillo con diamantes, sino que trata de comprar un diamante con el mayor número de quilates posible, para demostrar que él está dispuesto hasta a quedarse sin camisa con tal de que la chica VEA, sin lugar a dudas, que él es el indicado.
Mhmmm... tétrico ¿no? Lo interesante de la forma en la que está planteada el juego es que (chequen de nuevo el statement del juego, por favor, digo, si ya leyeron hasta aquí es porque algo les interesó) es que en realidad, a la chica NO LE IMPORTA el total de quilates del diamante, su "beneficio" sólo depende de que acepte al chico correcto (o sea, al "amor verdadero"). Pero como este mundo es muy canalla y la incertidumbre es mucha, la única forma que ella tiene para distinguir al chico indicado de todos los demás pseudo-lindos es mediante el quilataje del diamante, que es la SEÑAL que ella logra ver.
Ahora sí, tooodas (bueno, algunas de) las debilidades del modelo propuesto por el juego: aquí no las puse, pero la forma en que están diseñadas las funciones de utilidad o recompensa del chico suponen que el chico en cuestión puede darse el lujo de pagar un anillo de diamantes, y que el "amor verdadero" tiene la capacidad de comprar un anillo más caro, lo cual no siempre es posible; ya sabemos que la disponibilidad a pagar es muy diferente a la posibilidad de hacerlo. La otra cuestión es respecto a los supuestos inherenetes a las preferencias de la chica. Digo ¿cuántas veces no nos hemos topado con estas viejas que ni siquiera se refieren al "anillo de compromiso" sino a LA ROCA? Y bueno, también estamos las que no creemos en esas cosas sino en otro tipo de señales. Después de todo, ¿qué no es el matrimonio sino el manifiesto de decir: contigo, pan y cebolla?